Funciones Trigonométricas

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Función trigonométrica


son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.





Conceptos básicos

Identidades trigonométricas fundamentales.
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).



Función
Abreviatura
Equivalencias (en radianes)
sin (sen)
 \sin \; \theta \equiv \frac{1}{\csc \theta} \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\cot \theta} \,
cos
\cos \theta \equiv \frac{1}{\sec \theta} \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\tan \theta} \,
tan
\tan \theta \equiv \frac{1}{\cot \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \,
ctg
\cot \theta \equiv \frac{1}{\tan \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \,
sec
\sec \theta \equiv \frac{1}{\cos \theta} \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\tan \theta}{\sin \theta} \,
Cosecante
csc (cosec)
\csc \theta \equiv \frac{1}{\sin \theta} \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cot \theta}{\cos \theta} \,


Definiciones respecto de un triángulo rectángulo


Trigono a10.svg
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
  • La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
  • El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
  • El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
\sin \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}.
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}.
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}.
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
\cot \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {b} {a}.
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
\sec \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {h} {b}.
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
\csc \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {h} {a}.

[editar]Funciones trigonométricas de ángulos notables

Animación de la función seno.
30°
45°
60°
90°
sen
0
\frac{1}{2}
\frac{\sqrt{2}}{2}
\frac{\sqrt{3}}{2}
1
cos
1
\frac{\sqrt{3}}{2}
\frac{\sqrt{2}}{2}
\frac{1}{2}
0
tan
0
\frac{\sqrt{3}}{3}
1
\sqrt{3}
\infty


Representación gráfica



FunTriR333.svg



Funciones trigonométricas inversas

Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:
  • Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor.
La función arcoseno real es una función \left[-1,1\right] \to \left[0,2\pi \right)\,, es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:
\mbox{arcsin}(x) = \begin{cases} -\cfrac{\pi}{2} & x = -1 \\
x + \cfrac{1}{2}\cfrac{x^3}{3} + \cfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cfrac{x^5}{5} +
\cfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cfrac{x^7}{7} + \dots & -1 < x < 1\\
+\cfrac{\pi}{2} & x = 1 \end{cases}
  • Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor.
Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:
\mbox{arccos}(x) = \frac{\pi}{2} - \mbox{arcsin}(x)
  • Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor.
A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:
\mbox{arctan}(x) = \begin{cases} 
x - \cfrac{x^3}{3} + \cfrac{x^5}{5} - \cfrac{x^7}{7} + \dots &  |x| < 1 \\
\pm\cfrac{\pi}{2} -\cfrac{1}{x} +\cfrac{1}{3x^3} -\cfrac{1}{5x^5}+ \dots & +\ \mbox{con}\ x \ge 1, -\ \mbox{con}\ x \le -1 \end{cases}


Generalizaciones

  • Las funciones hiperbólicas son el análogo de las funciones trigonométricas para una hipérbola equilatera. Además el seno y coseno de un número imaginario puro puede expresarse en términos de funciones hiperbólicas.
  • Las funciones elípticas son una generalización biperiódica de las funciones trigonométricas que en el plano complejo sólo son periódicas sobre el eje real. En particular las funciones trigonométricas son el límite de las funciones elípticas de Jacobi cuando el parámetro del que dependen tiende a cero.


Videoclips de funciones trigonométricas

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Primer vídeo
Funciones trigonométricas 





Segundo vídeo 
Gráfica de funciones trigonométricas 






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